Решение задач с использованием формул комбинаторики

Начало урока

(2 мин)

 Приветствие учащихся.

  – Всем здравствуйте.  Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным  рукопожатием. 

– В классе нас сколько?  Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?  

– Итак, какие будут ответы?

Ответы записать на доске.  

(раздаточный материал, который находится на партах конверт с заданиями)      

 https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/osnovnye-ponyatiya-i-formuly-kombinatoriki?mid=%info%

презентация приложение №4 

Середина урока

(33 мин)

 Способ 1      Каждый из 15 -и  человек пожал руки 14-и . Однако произведение 15 * 14 =210 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (15 * 14) : 2 =105. 

Способ 2     Первый ученик пожал руки 14-и, второй – 13-и (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий – 12-и и т.д.  14-й ограничился одним рукопожатием, а на долю 15-го  выпала пассивная роль – принимать приветствия. Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:  N = 14 + 13 + 12 + … + 3 + 2 + 1 или    N = 1 + 2 + 3 + … + 12 + 13 + 14.     мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.      

тема урока:   Решение задач с использованием формул комбинаторики  (перестановки, размещения, сочетания). 

цель урока:   решать задачи, применяя формулы комбинаторики для вычисления числа перестановок, размещений, сочетания  

ЭПИГРАФ УРОКА:  «Путь в тысячу ли начинается с первого шага. Нужно найти силы сделать   первый шаг, и дорога появиться сама собой».                                                                                 Лао Цзы   

Деление на группы  Дифференциация по классификации (группы учеников с похожими интересами)    Класс делится на 5 групп:    На столе  № 1 будут разноуровневые задания с перестановками      на  столе  №2   разноуровневые задания с размещениями   на столе  № 3 –  разноуровневые задания с сочетаниями  Учащиеся по желанию выбирают стол, за которым будут работать.      Учитель назначает спикера в каждой группе и группу  Каждая группа выбирает: редактора (который будет оформлять графический органайзер), помощника спикера (который выполняет основную вычислительную работу),  также тайм-менеджера (который следит за временем).     На столах лежат   маршрутные листы и конверты с заданиями.    

 Устная работа:   Презентация   Слайд  5-10  

1.  Найти значение выражения:    4!  

2 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5:   120 + 

3. Сколькими способами могут разместиться 6 человек в салоне автобуса на 6  свободных местах:  720 + 

4. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах:  24 +    

5. Найти значение выражения:    4!- 2!

«где отсутствует точное знание, там действуют догадки, а из десяти догадок девять – ошибки».   М. Горький 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ комбинаторных задач (слайды11-13)

  Разберем «на пальцах», как решать задачи (выбирая нужную формулу) по этой схеме. В опорном конспекте вы найдете 6 простых задач по комбинаторике, в каждой описан выбор формулы и решение. Действуйте аналогично, и добьетесь успеха.  Надо заметить, что выбор подходящей формулы – это только первая ступень в умении решать задач по комбинаторике, большинство задач сложнее и требует применения дополнительных правил . 

Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + m) способами.  

Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · m способами. 

Типы соединений:  Перестановками из п разных элементов называют соединения,   где число объектов остается неизменными, меняется только их порядок( расположение этих элементов в определенном порядке),  а   их число равно:  Pn=n!     

Размещения:  Если из n различных объектов будем выбирать по  m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой, то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок (в определенном порядке). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m(m не больше  п), а их число равно (читается «А из п по m») т.е.  равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является п.  

Сочетания Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.  

«Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах».           И. Г. Цейтен      

   Практическое задание с элементами исследования   Работа в группах  Дифференциация по уровню сложности задания и по темпу.   Для самостоятельной работы   группам предлагается выполнить задания разного уровня.

1 группе необходимо   решить 3 задачи на размещение. 

2 группе – 3 задачи на перестановку. 

3 группе – 3 задачи на сочетания.  Подготовьте графический органайзер ( постер) по предложенным заданиям.   По истечению 10  минут спикер от каждой группы защищает  задание  у доски.

балл

1

Метод: "Две звезды - одно желание".   Учащиеся изучают графические органайзеры других групп и оценивают их. Отмечают два положительных момента и одно пожелание. 

Обратная связь: взаимооценивание, учитель.  Учитель поддерживает, выделяет ответы и интересные вопросы некоторых учащихся.     Вывод: Ученики делают вывод о возможностях применять формул при решении практических задач. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний - нет), причем именно в m!  раз, то есть получилась такая изящная формула, объединяющая три   формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок)  

 Самостоятельная работа   Учащимся предлагается выполнить работу индивидуально, которая предполагает анализ предложенных заданий и   определение типа и формулы(тестирование по BILIM LAND)   Обратная связь:   Где были допущены ошибки? Что было трудным?   Учитель проводит коррекцию.     

 https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/osnovnye-ponyatiya-i-formuly-kombinatoriki?mid=%info%

Презентация   Слайд  5-10  

Слайд  11-13       https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/osnovnye-ponyatiya-i-formuly-kombinatoriki?mid=%info%

приложение №2

https://bilimland.kz/ru/subject/algebra/10-klass/osnovnye-ponyatiya-i-formuly-kombinatoriki?mid=%info%

Конец урока

(3 мин)

   "Глубочайшим свойством человеческой природы является страстное  стремление людей быть оцененными по достоинству"     Уильям Джеймс   

12-14  правильно выполненных задания без ошибок и недочетов надо повторить формулы 

15-17  правильно выполненных задания  без ошибок и недочетов 

18-20   правильно выполненных задания  без ошибок и недочетов    Домашнее задание:   1. Подготовить   рассказ или эссе на тему: "Комбинаторики" в различных сферах деятельности человека» ( лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв),  спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками), криптография (разработка методов шифрования), биология (расшифровка кода ДНК))  Придумать свою комбинаторную задачу и решить её.   

презентация

Рефлексия

(2 мин)

Метод: "КОЛЕСО СО ШКАЛОЙ ОЦЕНИВАНИЯ" 

Учащиеся осмысливают свою деятельность на уроке, проводят самооценку своей деятельности. 

–   Оцените по 10-балльной системе свое знание, понимание, умение распознавать типы комбинаторных элементов. Если фигура при этом получилась близкой к окружности это отлично. Если нет не переживайте  на следующих уроках мы будем корректировать ЗУН. 

Спасибо всем за работу. Надеюсь, присутствующие получили много интересной и актуальной информации. Мне было очень приятно работать с вами на уроке.     

колесо для оценивания